Il segno radice (v) indica la radice quadrata di un numero. Il segno della radice si trova non solo nell'algebra, ma anche nella vita di tutti i giorni, ad esempio nella lavorazione del legno, che include il calcolo delle dimensioni relative. Puoi moltiplicare due radici qualsiasi con gli stessi esponenti (gradi radice). Se le radici hanno indicatori diversi, è necessario portare le radici allo stesso indicatore. Se vuoi imparare come moltiplicare le radici con o senza moltiplicatori, leggi questo articolo.
Come moltiplicare le radici?
La moltiplicazione di radici con basi identiche viene effettuata secondo il teorema secondo cui la radice del prodotto di due numeri non negativi è uguale al prodotto di numeri quadrati.
Questa regola può essere utilizzata sia per combinare numeri sotto un segno radice, sia viceversa, per scrivere un'espressione sotto forma di un prodotto:
Questa regola è applicabile sia per la moltiplicazione delle radici quadrate, sia per la moltiplicazione delle radici con qualsiasi altra base (indicatore) identica.
È anche applicabile se è necessario moltiplicare il numero per la radice.
In questo caso, all'inizio deve essere elevato alla potenza dell'indice radice e quindi scritto sotto il segno della radice, in questo modo:
La moltiplicazione delle radici con diversi indicatori produce non permesso!
soluzione:
$ sqrt <36 cdot 64 cdot 9> = sqrt <36> cdot sqrt <64> cdot sqrt <9> = 6 cdot 8 cdot 3 = 144 $.
$ sqrt <7056> = sqrt <2 ^ 4 + 3 ^ 3 + 7 ^ 2> = sqrt <2 ^ 4> cdot sqrt <3 ^ 2> cdot sqrt <7 ^ 2> = 2 ^ 2 cdot 3 cdot 7 = 84 $.
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Come aggiungere un numero sotto la radice?
Supponiamo di avere questa espressione:
È possibile nascondere un diavolo all'interno della radice? Facile! Se fai una radice da un diavolo, la formula per moltiplicare le radici funzionerà. E come fare una radice da un diavolo? Sì, anche nessuna domanda! Due è radice quadrata di quattro!
La radice, a proposito, può essere fatta da qualsiasi numero non negativo! Sarà la radice quadrata del quadrato di questo numero. 3 - radice di 9. 8 - radice di 64. 11 - radice di 121. Bene, e così via.
Naturalmente, non è necessario dipingere in modo così dettagliato. A meno che, per cominciare. È sufficiente rendersi conto che qualsiasi numero non negativo moltiplicato per la radice può essere introdotto sotto la radice. Ma - non dimenticare! - sotto la radice questo numero diventerà piazza se stesso. Questa azione - introducendo un numero sotto la radice - può anche essere chiamata moltiplicando il numero per la radice. In generale, puoi scrivere:
La procedura è semplice, come puoi vedere. Perché è necessario?
Come ogni conversione, questa procedura espande le nostre capacità. Opportunità di trasformare un'espressione crudele e scomoda in morbida e soffice). Eccone uno semplice un esempio:
Come puoi vedere proprietà delle radici consentire di introdurre un moltiplicatore sotto il segno della radice è abbastanza adatto per la semplificazione.
Inoltre, l'aggiunta di un fattore sotto la radice rende facile e semplice confrontare i valori di diverse radici. Senza alcun calcolo e calcolatrice! La terza cosa utile.
Come confrontare le radici?
Questa abilità è molto importante in compiti solidi, quando si rivelano moduli e altre cose interessanti.
Confronta queste espressioni. Quale è più grande? Nessuna calcolatrice! Con una calcolatrice ciascuno. uh-uh. in breve, tutti possono farlo!)
Non lo dirai subito. E se aggiungi numeri sotto il segno della radice?
Ricorda (improvvisamente, non lo sapevano?): Se il numero sotto il segno della radice è maggiore, allora la radice stessa è maggiore! Da qui la risposta giusta subito, senza complicati calcoli e calcoli:
Ottimo, eh? Ma non è tutto! Ricorda che tutte le formule funzionano sia da sinistra a destra, sia da destra a sinistra. Finora abbiamo usato la formula per moltiplicare le radici da sinistra a destra. Eseguiamo questa proprietà di root al contrario, da destra a sinistra. In questo modo:
E qual è la differenza? Dà qualcosa!? Certo! Ora vedrai di persona.
Supponiamo di dover estrarre (senza una calcolatrice!) La radice quadrata del 6561. Alcuni in questa fase cadranno in una lotta diseguale con il compito. Ma siamo persistenti, non ci arrendiamo! La cosa utile è la quarta.
Come estrarre le radici da grandi numeri?
Ricordiamo la formula per estrarre radici da un'opera. Quello che ho scritto un po 'più in alto. Ma dov'è il nostro lavoro !? Abbiamo un numero enorme di 6561 e basta. Sì, il lavoro non è qui. Ma se ne abbiamo bisogno, noi lui lo farà! Fattorizza questo numero. Abbiamo il diritto.
Per prima cosa, cerchiamo di capire cosa è esattamente diviso questo numero? Cosa, non lo sai !? Segni di fissilità dimenticati !? Invano Vai alla sezione speciale 555, il tema di "Frazioni", eccole. Questo numero è diviso per 3 e 9. Perché la somma delle cifre (6 + 5 + 6 + 1 = 18) è divisa in questi numeri. Questo è uno dei segni di divisibilità. Non abbiamo bisogno di dividere in tre (capiremo perché ora), ma dividere per 9. Almeno un angolo. Otteniamo 729. Quindi abbiamo trovato due fattori! Il primo è nove (lo abbiamo scelto noi stessi) e il secondo è 729 (è quello che è successo). Già puoi scrivere:
Prendi un'idea? Con il numero 729, faremo lo stesso. È anche diviso per 3 e 9. Ancora una volta non dividiamo per 3, dividiamo per 9. Otteniamo 81. E conosciamo questo numero! Scriviamo:
Tutto è risultato semplice ed elegante! La radice doveva essere estratta a pezzi, beh, va bene. Questo può essere fatto con qualsiasi numero elevato. Fattorali e vai!
A proposito, perché non hai dovuto dividere per 3, indovina? Sì, perché la radice dei tre non è stata estratta esattamente! Ha senso fattorizzarli in modo che almeno una radice sia ben estratta. Sono 4, 9, 16 e così via. Dividi il tuo numero enorme in questi numeri uno per uno, guarda e sei fortunato!
Ma non necessariamente. Forse non fortunato. Supponiamo che il numero 432, quando fattorizzato e usando la formula radice per il prodotto, dia il seguente risultato:
Bene Comunque, abbiamo semplificato l'espressione. In matematica, è consuetudine lasciare il minor numero possibile sotto la radice. Nel processo di risoluzione di tutto dipende da un esempio (forse tutto sarà abbreviato senza semplificazione), ma nella risposta devi dare un risultato che non può essere ulteriormente semplificato.
A proposito, sai cosa abbiamo fatto con una radice di 432 in questo momento?
Lo siamo fattorizzato da sotto il segno della radice! Questo è come si chiama questa operazione. E poi l'attività si imbatterà in "estrarre il moltiplicatore da sotto il segno radice"e gli uomini non lo sanno.) Ecco un'altra domanda per te proprietà di root. La cosa utile è la quinta.
Come rimuovere il moltiplicatore da sotto la radice?
Facilmente. Fattorizza l'espressione della radice ed estrai le radici che vengono estratte. Guardiamo:
Niente di soprannaturale. È importante scegliere i giusti fattori. Qui abbiamo presentato 72 come 36 · 2. E tutto è andato bene. E avrebbero potuto scomporlo diversamente: 72 = 6 · 12. E cosa !? Nessuna radice viene estratta da 6 o 12. Cosa fare ?!
Niente di cui preoccuparsi. O cerca altre opzioni di decomposizione o continua a disporre tutto fino allo stop! In questo modo:
Come puoi vedere, tutto ha funzionato. Questo, a proposito, non è il modo più veloce, ma il più affidabile. Espandi il numero nei fattori più piccoli, quindi raccogli lo stesso in heap. Il metodo viene applicato anche con successo quando si moltiplicano le radici scomode. Ad esempio, è necessario calcolare:
Moltiplica tutto: un numero folle funzionerà! E poi come estrarre la radice da esso ?! Per fattorizzare di nuovo? No, il lavoro superfluo è inutile per noi. Fattorizza immediatamente e raccogli lo stesso in cumuli:
Questo è tutto. Naturalmente, non è necessario presentarsi fino alla fermata. Tutto è determinato dalle tue capacità personali. Hanno portato l'esempio allo stato in cui ti è tutto chiaro allora puoi già contare. La cosa principale non deve essere confusa. Non un uomo per la matematica, ma la matematica per un uomo!)
Applicare le conoscenze alla pratica? Cominciamo con uno semplice:
